Лекция №20. Переменный электрический ток
1. Переменный электрический ток
2.
3.
4.
5.
6.
7. Мгновенная мощность
8.
Переменный электрический ток
Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором можно рассматривать как переменный электрический ток . Если подводимые к контуру внешняя ЭДС или напряжение периодически изменяются по гармоническому закону, то переменный ток называют синусоидальным (рис. 20.1):
где – мгновенное значение силы тока, то есть значение тока для каждого момента времени; – амплитудное значение силы тока.
При частоте https://pandia.ru/text/78/089/images/image007_105.gif" width="78" height="21 src=">.
Ввиду того, что в течение периода сила переменного тока изменяется, о величине такого тока судят не по мгновенным значениям, а по действующему или эффективному значению https://pandia.ru/text/78/089/images/image010_85.gif" align="left" width="96" height="84">
Действующее значение переменного тока
Действующим (эффективным) значением переменного тока называют такую величину, которая равна силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток за одно и то же время. Действующее значение переменного синусоидального тока связано с его амплитудным значением соотношением
(20.1)
Для мгновенных значений синусоидальных токов выполняются закон Ома и правила Кирхгофа.
Рассмотрим цепи, содержащие резистор, катушку индуктивности, конденсатор и все три элемента, соединенные последовательно, на зажимах которых приложено переменное напряжение
где – амплитудное значение напряжения.
Электрическая цепь с резистором
Сила тока, протекающего через резистор (рис. 20.2), определяется законом Ома
(20.2)
где – амплитуда силы тока. Очевидно, что при чисто активном (R ) характере цепи сдвиг фаз колебаний тока и напряжения равен нулю (рис.
Электрическая цепь с катушкой индуктивности
В катушке без потерь () будет протекать ток, если напряжение на ее выводах компенсирует ЭДС самоиндукции (рис. 20.4), то есть
(20.3)
откуда ток
https://pandia.ru/text/78/089/images/image023_41.gif" width="74" height="49"> (20.5)
где – индуктивное сопротивление , зависящее от частоты..gif" width="52" height="26">.
Таким образом, в цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают по фазе на https://pandia.ru/text/78/089/images/image028_37.gif" align="left" width="518" height="250">
Электрическая цепь с конденсатором
Если пренебречь активным сопротивлением соединительных проводов и обкладок конденсатора (рис. 20.6), то напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на зажимах цепи, то есть
откуда заряд конденсатора
Сила тока в цепи конденсатора
https://pandia.ru/text/78/089/images/image034_30.gif" width="136" height="53">, - емкостное сопротивление цепи..gif" width="21" height="26 src=">. Поэтому в цепи постоянного тока () и конденсатор не проводит электрический ток.
 |
Таким образом, в цепи с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе на https://pandia.ru/text/78/089/images/image041_24.gif" align="left" width="96" height="84">
Закон Ома для цепи переменного тока
Рассмотрим теперь электрическую цепь из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 20.8).
По второму правилу Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на зажимах цепи равно сумме напряжений на отдельных элементах
Построим векторную диаграмму цепи с учетом полученных ранее фазовых соотношений: а) напряжение на резисторе совпадает по фазе с током; б) напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на ; в) напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на https://pandia.ru/text/78/089/images/image045_24.gif" width="288" height="34"> (20.9)
где – реактивная составляющая напряжения.
Учитывая, что https://pandia.ru/text/78/089/images/image048_23.gif" width="69" height="26 src=">.gif" width="239" height="53">
где Z – полное сопротивление цепи. Выражение
(20.10)
называется законом Ома для цепи переменного тока .
Разность 
называют реактивным сопротивлением
. Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением для рассматриваемой схемы
(20.11)
Если https://pandia.ru/text/78/089/images/image055_23.gif" width="43" height="24">; если , цепь имеет емкостный характер, ; если , то реактивное сопротивление цепи https://pandia.ru/text/78/089/images/image060_20.gif" width="43" height="24 src="> и цепь имеет активный характер даже при наличии в ней L и C .
Мгновенная мощность
Мгновенная мощность , развиваемая в цепи переменного тока, равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:
https://pandia.ru/text/78/089/images/image063_19.gif" width="121" height="62"> (20.13)
Из-за наличия сдвига фаз знаки у тока и напряжения в данный момент времени могут быть разные. Поэтому мгновенная мощность может быть отрицательной в некоторые доли периода переменного тока, что означает возвращение энергии из цепи источнику тока.
На рис.20.10 приведены графики изменения мгновенной мощности при различных углах сдвига фаз между колебаниями напряжения и тока.
При https://pandia.ru/text/78/089/images/image067_16.gif" width="87" height="21"> в отдельные промежутки времени мощность отрицательна. Это объясняется тем, что при наличии в цепи катушки индуктивности возрастание тока приводит к созданию в ней магнитного поля, которое обладает запасом энергии. При уменьшении силы тока магнитное поле исчезает и запасенная в нем энергия возвращается к источнику тока (генератору). Аналогичный процесс происходит при наличии в цепи конденсатора: в течение той четверти периода, когда происходит зарядка конденсатора, энергия в нем запасается, а когда конденсатор разряжается, он отдает в цепь запасенную энергию.
При https://pandia.ru/text/78/089/images/image069_17.gif" width="224" height="49">, (20.14)
где – косинус угла сдвига фаз, который называется коэффициентом мощности .
Формула (20.14) показывает, что развиваемая в цепи переменного тока мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между напряжением и током.
Коэффициент мощности https://pandia.ru/text/78/089/images/image072_16.gif" width="40" height="21"> и может быть много меньше единицы. В этих случаях для передачи требуемой активной мощности Р (при заданном напряжении) необходимо увеличивать силу тока, что приводит к выделению в цепи большого количества теплоты. Поэтому приходится либо увеличивать сечение проводов (R ~ 1/ S ), либо распределять реактивные нагрузки так, чтобы был по возможности ближе к единице.
Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений
Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего индуктивный и емкостный элементы, при котором угол Измерительная техника" href="/text/category/izmeritelmznaya_tehnika/" rel="bookmark">измерительной технике и других областях.
Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов), резонанс в магнитно-связанных цепях и др.
Резонанс напряжений . Из выражения (1) следует, что при последовательном соединении ток в цепи приобретает максимальное значение при https://pandia.ru/text/78/089/images/image079_14.gif" width="78 height=48" height="48"> Этому условию удовлетворяет частота
Явление резонанса напряжений используется в радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее пробой.
Лекция 13-14.
1 . Принцип получения переменной ЭДС
Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.
В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.
В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.
Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.
Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью? рамка площадью S .(рис. 1).
Магнитный поток через рамку будет равен:
Ф=BS cos? (1.1)
где? - угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки?= ?/t, то угол? будет изменяться по закону?= ? t и формула(1.1) примет вид:
Ф=BScos?t (1.2)
Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:
Е = -d Ф /dt =BS?sin?t =E0sin?t (1.3)
где Е0 = BS? - амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.
Величину?t = 2?t/Т = 2?ft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.
Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).
Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии - 60 Гц).
Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 - 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.
Лекция 13-14
Переменный ток
Как известно, сила тока в любой момент времени пропорциональна ЭДС источника тока (закон Ома для полной цепи). Если ЭДС источника не изменяется со временем и остаются неизменными параметры цепи, то через некоторое время после замыкания цепи изменения силы тока прекращаются, в цепи течет постоянный ток.
Однако в современной технике широко применяются не только источники постоянного тока, но и различные генераторы электрического тока, в которых ЭДС периодически изменяется. При подключении в электрическую цепь генератора переменной ЭДС в цепи возникают вынужденные электромагнитные колебания или переменный ток.
Переменный ток – это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника
или
Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону.
Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой ω по синусоидальному или косинусоидальному закону:
u = Um ⋅ sin ωt
или u = Um ⋅ cos ωt
где u – мгновенное значение напряжения, U m – амплитуда напряжения, ω – циклическая частота колебаний. Если напряжение меняется с частотой ω , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае
i = Im ⋅ sin( ωt + φc )
где φ c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.
Переменный ток обеспечивает работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводит в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т.п. Частота колебаний напряжения в сети равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц.
Резистор в цепи переменного тока
Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R , которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением . В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что, только на нем выделяется энергия, т.е.
Сопротивление элемента электрической цепи (резистора), в котором происходит превращение электрической энергии во внутреннюю энергию, называют активным сопротивлением .
Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R , а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют (рис. 1).
Рис. 1
u = Um ⋅ sin ωt
Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома:
i = UR = Um ⋅ sin ω tR = Im ⋅ sin ω t
Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (рис. 2), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:
Рис. 2
При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока.
Катушка в цепи переменного тока
Индуктивность влияет на силу переменного тока в цепи. Это можно обнаружить с помощью простого опыта. Составим цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания (рис. 3). С помощью переключателя можно присоединять эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть одинаковы. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.
Рис. 3
Объясняется это самоиндукцией. При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению. Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигать тех установившихся значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении, равном максимальному значению переменного напряжения. Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.
Докажем это математически. Пусть в цепь переменного тока включена идеальная катушка с электрическим сопротивлением провода, равным нулю (рис. 4). При изменениях силы тока по гармоническому закону
i = Im ⋅ cos ωt
в катушке возникает ЭДС самоиндукции
e =− L ⋅ i ′= Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt
где L – индуктивность катушки, ω – циклическая частота переменного тока.
Рис. 4
Так как электрическое сопротивление катушки равно нулю, то ЭДС самоиндукции в ней в любой момент времени равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором:
u =− e =− Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt
Следовательно, при изменении силы тока в катушке по гармоническому закону напряжение на ее концах изменяется тоже по гармоническому закону, но со сдвигом фазы:
u = Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ cos( ωt + π 2)
Следовательно, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на π/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π/2.
В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 5). В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.
Рис. 5
Произведение Im ⋅ L ⋅ ω
является амплитудой колебаний напряжения на катушке:
Um = Im ⋅ L ⋅ ω
Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний силы тока в ней называется индуктивным сопротивлением (обозначается X L ):
XL = UmIm = L ⋅ ω
Связь амплитуды колебаний напряжения на концах катушки с амплитудой колебаний силы тока в ней совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока:
Im = UmXL
В отличие от электрического сопротивления проводника в цепи посто-янного тока, индуктивное сопротивление не является постоянной величиной, характеризующей данную катушку. Оно прямо пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в катушке при постоянном значении амплитуды колебаний напряжения должна убывать обратно пропорционально частоте. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ω = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X L = 0).
Зависимость амплитуды колебаний силы тока в катушке от частоты приложенного напряжения можно наблюдать в опыте с генератором пере-менного напряжения, частоту которого можно изменять. Опыт показывает, что увеличение в два раза частоты переменного напряжения приводит к уменьшению в два раза амплитуды колебаний силы тока через катушку.
Конденсатор в цепи переменного тока
Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором. Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока, то в цепи возникнет кратковременный импульс тока, который зарядит конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекратится. Если заряженный конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с выводами лампы накаливания, то конденсатор будет разряжаться, при этом наблюдается кратковременная вспышка лампы.
При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор вновь заряжается, но полярность напряжения на его обкладках изменяется на противоположную и т.д. Процессы зарядки и разрядки конденсатора чередуются с периодом, равным периоду колебаний приложенного переменного напряжения.
Как и в цепи постоянного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды не проходят. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора по проводам, соединенным с его выводами, течет переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока (рис. 6), кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы.
Рис. 6
Установим связь между амплитудой колебаний напряжения на обкладках конденсатора и амплитудой колебаний силы тока. При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону
u = Um ⋅ cos ωt
заряд на его обкладках изменяется по закону:
q = C ⋅ u = Um ⋅ C ⋅ cos ωt
Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q ’. Поэтому колебания силы тока в цепи происходят по закону:
i =− Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ sin ωt = Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos( ωt + π 2)
Следовательно, колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на π/2 или колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2 (рис. 7). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.
Рис. 7
Произведение Um ⋅ ω ⋅ C
является амплитудой колебаний силы тока:
Im = Um ⋅ ω ⋅ C
Отношение амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе к амплитуде колебаний силы тока называют емкостным сопротивлением конденсатора (обозначается Х C ):
XC = UmIm =1 ω ⋅ C
Связь между амплитудным значением силы тока и амплитудным значением напряжения по форме совпадает с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления фигурирует емкостное сопротивление конденсатора:
Im = UmXC
Емкостное сопротивление конденсатора, как и индуктивное сопротивление катушки, не является постоянной величиной. Оно обратно пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте.
Закон Ома для электрической цепи переменного ток
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой U m , то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой I m . Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения.
Рис. 8
В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:
u = uR + uL + uC
. (1)
Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:
i = Im ⋅ cos ωt
. (2)
Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π /2. Поэтому уравнение (1) можно записать так:
u = URm ⋅ cos ωt + ULm ⋅ cos( ωt + π 2)+ UCm ⋅ cos( ωt − π 2)
, (3)
где U Rm , U Cm и U Lm – амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.
Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.
При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U Rm , совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I m . Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U ⃗ Cm
отстает от вектора I ⃗ m на угол 90°. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на π /2, поэтому вектор U ⃗ Lm опережает вектор I ⃗ m
на угол 90° (рис. 9).
Рис. 9
На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов U ⃗ Rm
, U ⃗ Cm и U ⃗ Lm , вращающихся с одинаковой угловой скоростью ω против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений u R , u C и u L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов U ⃗ Rm , U ⃗ Cm и U ⃗ Lm
на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:
U ⃗ m = U ⃗ Rm + U ⃗ Cm + U ⃗ Lm
Из рисунка 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна
Um = U 2 Rm +(ULm − UCm )2−−−−−−−−−−−−−−−−− √
, (4)
или
Um =(ImR )2+(ImXL − ImXC )2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(XL − XC )2−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √
.
Отсюда
Im = UmR 2+(Lω −1 Cω )2 √
. (5)
Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока
Z = R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √
, (6)
выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом:
Im = UmZ
. (7)
Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока .
Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна ω∙t + φ . Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:
u = Um ⋅ cos(ωt + φ )
. (8)
Начальную фазу φ можно найти из векторной диаграммы:
cos φ = URmUm = Im ⋅ RIm ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2 √ = RZ
. (9)
Величина cos φ играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.
Мощность в цепи переменного тока
Мощность в цепи постоянного тока определяется произведением напряжения на силу тока:
P = U ⋅ I
.
Физический смысл этой формулы прост: так как напряжение U численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда, то произведение U∙I характеризует работу по перемещению заряда за единицу времени, протекающего через поперечное сечение проводника, т.е. является мощностью. Мощность электрического тока на данном участке цепи положительна, если энергия поступает к этому участку из остальной сети, и отрицательна, если энергия с этого участка возвращается в сеть. На протяжении очень малого интервала времени переменный ток можно считать неизменным. Поэтому мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется такой же формулой:
p = u ⋅ i
.
Пусть напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону
u = Um ⋅ cos ωt
(с тем же успехом, разумеется, вместо u = Um ⋅ cos ωt
можно было бы записать u = Um ⋅ sin ωt
), то и сила тока будет меняться со временем гармонически с той же частотой, но в общем случае будет сдвинута по фазе относительно напряжения:
i = Im ⋅ cos( ω t + φ c )
,
где φ c – сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Поэтому для мгновенной мощности можно записать:
p = u ⋅ i = Um ⋅ Im ⋅ cos ωt ⋅ cos(ωt + φc )
.
При этом мощность меняется со временем как по модулю, так и по знаку. В течение одной части периода энергия поступает к данному участку цепи (р > 0), но в течение другой части периода некоторая доля энергии вновь возвращается в сеть (р < 0). Как правило, во всех случаях нам надо знать среднюю мощность на участке цепи за достаточно большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно определить среднюю мощность за один период.
Чтобы найти среднюю мощность за период, преобразуем полученную формулу таким образом, чтобы выделить в ней член, не зависящий от времени. С этой целью воспользуемся известной формулой для произведения двух косинусов:
cos α ⋅ cos β =cos(α − β )+cos(α + β )2
.
В рассматриваемом случае α = ω∙t и β = ω∙t + φ c . Поэтому
p = Um ⋅ Im 2= Um ⋅ Im 2cos φc + Um ⋅ Im 2cos(2 ωt + φc )
.
Выражение для мгновенное мощности состоит из двух слагаемых. Первое не зависит от времени, а второе дважды за каждый период изменения напряжения изменяет знак: в течение какой-то части периода энергия поступает в цепь от источника переменного напряжения, а в течении другой части возвращается обратно. Поэтому среднее значение второго слагаемого за период равно нулю. Следовательно, средняя мощность Р за период равна первому члену, не зависящему от времени:
P = Um ⋅ Im 2cos φc
. (10)
При совпадении фазы колебаний силы тока и напряжения (для активного сопротивления R ) среднее значение мощности равно:
P = Um ⋅ Im 2= I 2 m ⋅ R 2
.
Для того чтобы формула для расчета мощности переменного тока совпадала по форме с аналогичной формулой для постоянного тока (Р = I∙U = I 2 ∙ R ), вводятся понятия действующих значений силы тока и напряжения. Из равенства мощностей получим
P = I 2 m ⋅ R 2= I 2 ⋅ R
или I 2 m 2= I 2
.
Действующим значением силы тока называют величину, в 2–√
раз меньшую ее амплитудного значения:
I = Im 2√
.
Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, при котором средняя мощность, выделяющаяся в проводнике в цепи переменного тока, равна мощности, выделяющейся в том же проводнике в цепи постоянного тока.
Аналогично можно доказать, что
действующее значение переменного напряжения в 2–√
раз меньше его амплитудного значения:
U = Um 2√
.
Заметим, что обычно электрическая аппаратура в цепях переменного тока показывает действующие значения измеряемых величин. Переходя к действующим значениям силы тока и напряжения, уравнение (10) можно переписать:
P = Um 2√ ⋅ Im 2√cos φc = U ⋅ I cos φc
. (10)
Таким образом, мощность переменного тока на участке цепи определяется именно действующими значениями силы тока и напряжения. Она зависит также от сдвига фаз φ c между напряжением и током. Множитель cos φ c в формуле называется коэффициентом мощности .
В случае, когда φ c = ± π /2 , энергия, поступающая к участку цепи за период, равна нулю, хотя в цепи и существует ток. Так будет, в частности, если цепь содержит только катушку индуктивности или только конденсатор. Как же средняя мощность может оказаться равной нулю при наличии тока в цепи? Это поясняют приведенные на рисунке 10 графики изменения со временем мгновенных значений напряжения, силы тока и мощности при φ c = - π /2 (чисто индуктивное сопротивление участка цепи). График зависимости мгновенной мощности от времени можно получить, перемножая значения силы тока и напряжения в каждый момент времени. Из этого графика видно, что в течение одной четверти периода мощность положительна и энергия поступает к данному участку цепи; но в течение следующей четверти периода мощность отрицательна, и данный участок отдает без потерь обратно в сеть полученную ранее энергию. Поступающая в течение четверти периода энергия запасается в магнитном поле тока, а затем без потерь возвращается в сеть.
Рис. 10
Лишь при наличии проводника с активным сопротивлением в цепи, не содержащей движущихся проводников, электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию проводника, который нагревается. Обратного превращения внутренней энергии в электромагнитную на участке с активным сопротивлением уже не происходит.
При проектировании цепей переменного тока нужно добиваться, чтобы cos φ c не был мал. Иначе значительная часть энергии будет циркулировать по проводам от генератора к потребителям и обратно. Так как провода обладают активным сопротивлением, то при этом энергия расходуется на нагревание проводов.
Неблагоприятные условия для потребления энергии возникают при включении в сеть электродвигателей, так как их обмотка имеет малое активное сопротивление и большую индуктивность. Для увеличения cos φ c в сетях питания предприятий с большим числом электродвигателей включают специальные компенсирующие конденсаторы. Нужно также следить, чтобы электродвигатели не работали вхолостую или с недогрузкой. Это уменьшает коэффициент мощности всей цепи. Повышение cos φ c является важной народнохозяйственной задачей, так как позволяет с максимальной отдачей использовать генераторы электростанций и снизить потери энергии. Это достигается правильным проектированием электрических цепей. Запрещается использовать устройства с cos φ c < 0,85.
На сегодняшней встрече мы поведем разговор об электричестве, которое стало неотъемлемой частью современной цивилизации. Электроэнергетика вторглась во все сферы нашей жизни. А присутствие в каждом доме бытовых приборов, использующих электрический ток настолько естественная и неотъемлемая часть быта, что мы принимаем это как должное.
Итак, вниманию наших читателей предлагаются основные сведения об электрическом токе.
Что такое электрический ток
Под электрическим током понимают направленное движение заряженных частиц. Вещества, содержащие достаточное количество свободных зарядов, называют проводниками. А совокупность всех устройств, соединенных между собой помощью проводов называют электрической цепью.
В повседневной жизни мы используем электричество, проходящее по металлическим проводникам. Носителями заряда в них являются свободные электроны.
Обычно они хаотично мечутся между атомами, но электрическое поле вынуждает их двигаться в определенном направлении.
Как это происходит
Поток электронов в цепи можно сравнить с потоком воды, ниспадающей с высокого уровня на низкий. Роль уровня в электрических цепях играет потенциал.
Для Протекания тока в цепи на её концах должна поддерживаться постоянная разность потенциалов, т.е. напряжение.
Его принято обозначать буквой U и измерять в вольтах (B).
Благодаря приложенному напряжению в цепи устанавливается электрическое поле, которое и придаёт электронам направленное движение. Чем больше напряжение, тем сильнее электрическое поле, а значит и интенсивность потока направленно движущихся электронов.
Скорость распространения электрического тока равна скорости установления в цепи электрического поля, т. е. 300 000 км/с, однако скорость электронов едва достигает лишь нескольких мм в секунду.
Принято считать, что ток течёт от точки с большим потенциалом, т. е. от (+) к точке с меньшим потенциалом, т. е. к (−). Напряжение в цепи поддерживается источником тока, например батарейкой. Знак (+) на её конце означает, недостаток электронов, знак (−) их избыток, поскольку электроны — носители именно отрицательного заряда. Как только цепь с источником тока становиться замкнутой, электроны устремляются от места, где их избыток, к положительному полюсу источника тока. Их путь пролегает через провода, потребители, измерительные приборы и другие элементы цепи.
Обратите внимание, направление тока противоположно направлению движения электронов.
Просто направление тока по договоренности учёных определили до того как была установлена природа тока в металлах.
Некоторые величины, характеризующие электрический ток
Сила тока. Электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за 1 сек, называют силой тока. Для её обозначения используют букву I, измеряют в амперах (A).
Сопротивление. Следующая величина, о которой необходимо знать - это сопротивление. Оно возникает из-за столкновений направленно движущихся электронов с ионами кристаллической решетки. В результате таких столкновений электроны передают ионам часть своей кинетической энергии. В результате чего проводник нагревается, а сила тока уменьшается. Сопротивление обозначается буквой R и измеряется в омах (Ом).
Сопротивление металлического проводника тем больше, чем длиннее проводник и меньше площадь его поперечного сечения. При одинаковой длине и диаметре провода наименьшим сопротивлением обладают проводники из серебра, меди, золота и алюминия. По вполне понятным причинам на практике используют провода из алюминия и меди.
Мощность. Выполняя расчёты для электрических цепей, иногда требуется определить потребляемую мощность (P).
Для этого следует силу тока, протекающую по цепи умножить на напряжение.
Единицей измерения мощности служит ватт (Вт).
Постоянный и переменный ток
Ток, даваемый разнообразными батарейками и аккумуляторами, является постоянным. Это означает, что силу тока в такой цепи можно изменять лишь по величине, меняя различными способами её сопротивление, а его направление при этом сохраняется неизменным.
Но большинство электробытовых приборов потребляют переменный ток, т. е. ток величина и направление которого непрерывно изменяются по определенному закону.
Он вырабатывается на электростанциях, а затем через линии высоковольтных передач попадает в наши дома и на предприятия.
В большинстве стран частота изменения направления тока равна 50 Гц, т. е происходит 50 раз в секунду. При этом каждый раз сила тока постепенно нарастает, достигает максимума, затем убывает до 0. Затем этот процесс повторяется, но уже при противоположном направлении тока.
В США все приборы работают на частоте 60 Гц. Интересная ситуация сложилась в Японии. Там на одной трети страны используют переменный ток с частотой в 60 Гц, а на остальной части - 50 Гц.
Осторожно - электричество
Поражения электрическим током можно получить при использовании электробытовых приборов и от ударов молнии, поскольку человеческий организм хороший проводник тока. Нередко электротравмы получают, наступив на лежащий на земле провод или отодвинув руками отвисшие электрические провода.
Напряжение свыше 36 В считается опасным для человека. Если через тело человека пройдет ток всего лишь в 0,05 А, он может вызвать непроизвольное сокращение мышц, которое не позволит человеку самостоятельно оторваться от источника поражения. Ток в 0,1 А смертелен.
Ещё опаснее переменный ток, поскольку оказывает более сильное воздействие на человека. Этот наш друг и помощник в ряде случаев превращается в беспощадного врага, вызывая нарушение дыхания и работу сердца, вплоть до его полной остановки. Он оставляет страшные метки на теле в виде сильнейших ожогов.
Как помочь пострадавшему? Прежде всего, отключить источник поражения. А затем уже позаботиться об оказании первой медицинской помощи.
Наше знакомство с электричеством подходит к концу. Добавим лишь несколько слов о морских обитателях, обладающих «электрическим оружием». Это некоторые виды рыб, морской угорь и скат. Самым опасным из них является морской угорь.
Не стоит подплывать к нему на расстояние менее 3 метров. Удар его не смертелен, но сознание можно потерять.
Если это сообщение тебе пригодилось, буда рада видеть тебя
Лекция: «Переменный ток. Импеданс» 1. Переменный ток 2. Полное сопротивление цепи переменного тока. Резонанс напряжений. 3. Импеданс тканей организма. Физические основы реографии. 4. Области α-, β- и γ-дисперсии импеданса (самостоятельно, Ремизов А. Н. , Максина А. Г. , Потапенко А. Я. Медицинская и биологическая физика. М. , 2004, § 14. 4)
1. Переменный ток В широком смысле слова переменный ток - любой ток, изменяющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к квазистационарным токам, зависящим от времени по гармоническому закону. Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи значительно меньше периода колебаний. Будем считать, что для квазистационарных токов, так же как и для постоянных, сила тока одновременно одинакова в любом сечении неразветвленного проводника. Для них справедлив закон Ома, однако сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока. Потерями энергии на электромагнитное излучение этих токов будем пренебрегать. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания. Представим три разных цепи (рис. 1, а - 3, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение
U = Um sinωt, (1) где Um – амплитудное значение напряжения, ω-круговая частота колебаний. Можно показать, что сила тока в цепи с резистором (рис. 1, а) будет изменяться в фазе с приложенным напряжением: I=Im sin ωt, (2) Рис. 1 Сила тока в цепи с катушкой индуктивности (рис. 2, а) будет отставать по фазе от приложенного напряжения на π/2: I=Im sin (ωt – π/2), (3)
Рис. 2 а ток в цепи с конденсатором (рис. 3, а) будет опережать по фазе напряжение на π/2: I=Im sin (ωt + π/2), (4) Рис. 3
Векторные диаграммы, соответствующие этим примерам, показаны на рис. 1, б – 3, б. Для цепи с резистором имеем омическое сопротивление (5) для цепи с катушкой индуктивности – индуктивное сопротивление (6) а для цепи с конденсатором – емкостное сопротивление (7)
2. Полное сопротивление цепи переменного тока. Резонанс напряжений. Рассмотрим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 4) Рис. 4 В общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому I = Im sin (ωt-φ), (8) где φ – разность фаз напряжения и силы тока. Сумма напряжений на отдельных участках цепи равна внешнему напряжению: U= IR+ IXL+ IXC = UR + UL + UС, (9)
Рис. 5 На рис. 5 по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока Im. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участках цепи отложены относительно этого вектора: вектор URm – в одной фазе с силой тока; вектор ULm– с опережением силы тока по фазе на, вектор UCm –c отставанием от силы тока по фазе на. Используя теорему Пифагора, имеем U 2 м=U 2 Rm+(ULm-UCm)2 , (10)
Подставляя в (10) выражения этих амплитуд из (5)-(7) и учитывая закон Ома, находим (11) где Z – полное сопротивление цепи переменного тока, называемое импедансом. Из (11) получаем (12) Омическое сопротивление R цепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Разность индуктивного и емкостного сопротивлений (XL - Хс) называют реактивным сопротивлением. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.
Из рис. 5 выразим значение tgφ: (13) Если Xc =XL , то tgϕ=0 и ϕ=0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; напряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. Этот случай вынужденных электрических колебаний называют резонансом напряжения и резонансная частота равна: (14) При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет наименьшее значение, равное R, а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в цепи показана на рис. 6. а.
Src="http://present5.com/presentation/3/13873571_64447527.pdf-img/13873571_64447527.pdf-10.jpg" alt="а) Рис. 6 б) Если Lω>1/Сω, то tgϕ>0 и ϕ>0; сила тока отстает по"> а) Рис. 6 б) Если Lω>1/Сω, то tgϕ>0 и ϕ>0; сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (рис. 5). Если Lω
3. Импеданс тканей организма. Физические основы реографии Ткани организма проводят не только постоянный, но и переменный ток. В организме нет систем, подобных катушкам индуктивности, поэтому его индуктивность близка к нулю. Биологические мембраны (а следовательно и весь организм), обладают емкостными свойствами. Поэтому импеданс тканей организма определяется только омическим и емкостным сопротивлением. Омические и емкостные свойства биологических тканей моделируются с помощью эквивалентных электрических схем. Рассмотрим некоторые из них (рис. 7).
Рис. 7 Для схемы, изображенной на рис. 7. а, частотная зависимость импеданса может быть получена из (12) при L = 0: (15)
В соответствии с формулой (15) импеданс уменьшается с увеличением частоты, однако имеется противоречие с опытом: при ω→ 0 Z→∞. Последнее означает бесконечно большое сопротивление при постоянном токе, что и противоречит опыту. Для схемы, изображенной на рис. 7, б, при ω→∞ Z→ 0, что не соответствует опыту. Наиболее удачна схема рис. 7, в. В ней отсутствуют противоречия с опытом, характерные для двух предыдущих схем. Именно такое сочетание резисторов и конденсатора может быть принято за эквивалентную электрическую схему тканей организма. Частотная зависимость импеданса эквивалентной электрической схемы соответствует общему ходу экспериментальной зависимости импеданса от частоты.
Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма, что важно знать для пересадки (трансплантации) тканей и органов. Различие в частотных зависимостях импеданса получается и в случаях здоровой и больной ткани. Импеданс тканей и органов зависит также и от их физиологического состояния. Так, при кровенаполнении сосудов импеданс изменяется в зависимости от состояния сердечнососудистой деятельности. Диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности, называют реографией (импедансплетизмография). С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени и конечностей. Измерения обычно проводят на частоте 30 к. Гц.
§ 8 - 1Получение переменного тока.
Переменнвм током называется ток, направление которого периодичемки изменяется с течением времени. Основным устройством, которое используется для получения перемен-
где a - угол между направлением магнитного поля В и нормалью к площади рамки S. На-правление тока в рамке в выбранный момент времени определяется по правилу правой руки. Нетрудно видеть, что направление токов в верхнем и нижнем проводниках противо-положны друг другу. Концы рамки подключаются к кольцам, которые, в свою очередь, с помощью скользящих контактов подсоединены к выходным клеммам генератора. В мощных генераторах рамка содержит несколько десятков или сотен витков, токи в ней достигают значительной величины, поэтому сама рамка делается неподвижной, чтобы избе-жать трущихся контактов, а магнитная система вращается вокруг рамки. Частота вращения является госудаоственным стандартом: в США это 60Гц, в Росси –50 Гц.
§ 8 –2 Квазистационарные токи.
Квазистационарным называется переменный ток, для которого в любой омент времени оказывается справедливым закон Ома, сформулированный ранее для постоянного тока. Это означает, что в неразветвленных цепях сила тока, проходящего через любой элемент цепи, в данный момент времени одинакова для всех элементов. Неквазистационарными токи становятся тогда, когда частота колебаний достигает очень больших значений – таких, что соответствующая им длина волны l = сТ, где с –скорость света, а Т –период колебаний, становится сравнимой с геометрическими размерами цепи. Например, для промышленного тока 50 Гц эта длина волны равна 6000 км.
В прошлом семестре было показано, что на длине волны амплитуды колебаний в разных точках пространства различны, изменяясь от максимума до нуля и нооборот через каждые l/4. Поэтому мгновеннве значения ока будут одинаковы тогда, когда l>> l , где l – длина цепи.
лагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда
где = U C - напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции E L:
E k = E L + E (t), E L = - .
Обычно величину называют падением напряжения на индуктивности и обозна-чают U L , т.е. U L = , произведение IR =U R –падением напряжения на сопротивлении. С учетом этого уравнение (ХХ) можно преобразовать:
U R + U L + U C = E (t). (ХХХ)
Вспоминая, что и заменяя величины U C и U L , получим
E (t). (¨¨¨)
Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону: I = I 0 sinwt.
Тогда U R = I 0 R sinwt , U L = wLI 0 coswt = wLI 0 sin(wt -p/2),
Эти соотношения должны быть спаведливыми в любой момент времени, поэтому они спра-ведливы и для амплитудных значений, т.е.
.
Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины Z L =wL и Z C = аналогичны по своему значению сопротивлению R. Используя такую
интерпретацию, можно видеть, что уравнение (¨¨¨) приобретает тригонометрический смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на ±p/2 относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное представление колебаний, которое рассматривалось в прошлом семестре. Любое гармо-ническое колебание y(t) = Asin(wt + j) можно представить в векторном виде: длина вектора определяется амплитудой колебаний А, начальная фаза определяет угол отклонения вектора от горизональной оси, а w - частоту, с которой вектор вращается вокруг начала координат. В этом представлении напряжение на сопротивлении R изображается в виде горизонтально-
или, выражая U R , U L и U C через произведения тока на соответствующие сопротивления,
Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:
При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи I R = I L = I C =I. Полученное выражение по своей структуре аналогично закону Ома для цепи постоянного тока. Поэтому оно называется законом Ома для переменного тока . Важно отметить, что между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из рис.30:
§ 8 – 4 Мощность переменного тока.
Значение мгновенной мощности W определим по аналогии с законом Джоуля – Ленца для постоянного тока: W =IU = I 0 U 0 sinwt sin(wt +j). Однако, с практической точки зрения более полезно вычислить среднюю мощность за единицу времени. Определим среднее значение за время одного колебания любой переменной величины y(t) как интеграл, средний за период: . Тогда =
Интегралы в последнем выражении все равны нулю, т.к. среднее значение за период лю-бой периодической величины равно нулю.Поэтому , где U эфф = ; I эфф = - так называемые эффективные значения напряжения и тока.
Формула мощности для переменного тока отличается от аналогичной формулы для постоянного тока лишь коэффициентом cosj , который принято называть коэффициентом мощности. Увеличение этого коэффициента является важной практической задачей. Там, где сдвиг фаз между током и напряжением достигает 90 0 , средняя мощность оказывается равной нулю.
Лекция 9 Колебательный контур. . § 9 –1 Затухающие колебания в колебательном контуре.
Рассмотрим последовательную цепь, содержащую катушку индуктивности L, ем-кость С, сопротивление R и ключ. Предположим, что на емкости в начальный момент вре-мени имеется некоторый заряд. Если цепь замыкается, то в цепи возникает электрический ток. Наличие катушки индуктивности обуславливает возникновение ЭДС самоиндукции, которая своим действием препятствует возрастанию разрядного тока конденсатора. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, ток через индуктив-ность достигает максимума. В дальнейшем ЭДС самоиндукции стремится поддержать этот ток, что приводит к перезарядке конденсатора до некоторого напряжения обратной поляр-ности. Процесс перезарядки конденсатора повторяется определенное число раз в зави-симости от величины потерь энергии на сопротивлении. Способность контура к переза-рядке характеризуется качеством контура или добротностью . Добротность контура Q опре-деляется отношением энергии, запасенной на конденсаторе или в катушке индуктивности, к величине потерь энергии на сопротивлении за период:
Для количественного описания процессов в последовательном колебательном кон-туре используется уравнение, полученное ранее при рассмотрении переменного тока:
с той разницей, что в нашем случае внешняя ЭДС отсутствует так, что уравнение прини-мает вид:
Введем обозначения: ; b = и учтем, что по опеределению I= .Тогда наше уравнение принимает вид, знакомый по курсу прошлого семестра:
где в качестве переменной выступает заряд q. Решением этого дифференциального урав-нения служит функция q(t) = q 0 e - b t cos(wt + j), где величины q 0 и j определяются началь-ными условиями , а w 2 = с учетом того, что в большинстве случаев b< Как видно из полусенного выражения, величина добротности определяется лишь парамет-рами контура L,C и R. §
9 –2 Вынужденные колебания в контуре. Резонанс. Включим в цепь рассматриваемого контура внешнюю переменную ЭДС E = E 0 sin(wt+j). Повторяя процедуру прошлого семестра, найдем графическое решение уравнения (++). Бу-дем искать решение уравнения в виде q(t) = q 0 sin wt. Тогда Подставляя эти величины в исходное уравнение, имеем: Из полученного выражения видно, что амплитуда заряда на конденсатора изменяется в зависимости от частоты внешней ЭДС, достигая максимума, когда подкоренное выражение минимально. Это достигается тогда, когда ; если b< называется резонансной частотой. В момент резонанса q 0 = , и напря-жение на конденсаторе в Q раз больше,чем напряжение внешней ЭДС. Графическая зависимость напряжения на Из этого соотношения следует, что Dw =b. Тогда напряжение на емкости можно записать так: Сравнивая это выражение с формулой (*), можно заметить, что Q = . Последняя фор-мула имеет важный практический смысл. Она позволяет расчитать добротность из экспери-ментально полученной резонанмной кривой. Для этого достаточно провести горизонталь-ную прямую на уровне q рез до пересечения с резонансной кривой и спроектировать точки пересечения на ось частот. Этот интервал и определит полосу пропускания. Колебательные контура широко применяются в телевизорах, радиоприемниках, передатчиках, в раздичных радиоустройствах избирательного действия и т.п. Мы же рас-смотрим более подробно одно из атмосферных явлений, которое можно представить как разряд конденсатора в колебательном контуре. Это явление – гроза, точнее возникновение молнии. §
9 –3 Простешая теория грозы. Дождь, как известно, обусловлен тем, что вертикальные потоки нагретого влажного воздуха переносят влагу в верхние слои атмосферы, где водяные пары конденсируются в мельчайшие капельки. Током воздуха капельки увлекаются вверх, постепенно увеличиваясь в своих размерах. Объем (вес) капельки растет пропорционально кубу ее радиуса, тогда как подъемная сила воздушного потока пропорциональна всего лишь квадрату радиуса капли. Поэтому наступает момент, когда капля перестает подниматься и начинает падать. При па-дении капли образуют целый поток, который выталкивает перед собой холодный воздух из верхних слоев атмосферы. Когда капли достигают поверхности Земли, образуется дождь. Началу дождя предшествует холодный вихрь. Возникновение же грозы зависит от того, переносят капли электрический заряд или не переносят. Описание механизма переноса заряда предложено американским ученым Вильямсом. Согласно его гипотезе все опре-деляется структурой грозового облака. Полеты самолетов внутрь таких облаков показали, ионы, тогда как положительные ионы отталкиваются. Верхняя же часть капли оказывает на ионы меньшее влияние.В результате капли притягивают отрицательные тоны и при-обретают отрицательный заряд. Положительный же заряд переносится в верхнюю часть ту-чи и постепенно переходит в ионосферу. Накопление заряда в различных частях грозового облака приводит к появлению огромной разности потенциалов, достигающей 100 млн Вольт. Эта разность потенциалов может образовываться как между различными облаками, так и между облаком и земной поверхностью. Рассмотрим второй случай. По мере накоп-ления заряда в нижней части облака вблизи его нижней кромки образуется электрическое поле, которое ионизирует воздух. Поле различно в разных точках, поэтому и степень поляризации будет различной. Там, где воздух ионизируется полностью, образуется новое состояние вещества – плазма. Плазма начинает светиться и для уменьшения потерь энергии на излучение стремится образовать шарообразную форму. Внешне это выглядит так: из тучи внезапно вываливается небольшой светящийся комок, получивший название белого лидера, и устремляется к Земле. Скорость его движения достигает 50 000 км/сек. Но лидер двигается с остановками, во время которых может произойти его деление. Движение лидера подготавливает канал для основного разряда. Если лидер делится, то возможно ветвление разряда. Когда до Земли остается около 100 метров, с земной поверхности навстречу лидеру поднимается заряд, стремящийся двигаться вдоль острых высоких предметов. При смы-кании лидера с этим зарядом образуется канал, по которому отрицательный заряд попадает на Землю. Образуется гигантская искра, но длительность этого искрового разряда мала. Через доли секунды из тучи выходит новый комок – так называемый темный лидер. Он с большой скоростью и без остановки устремляется к Земле по подготовленному каналу. Вслед за ним идет основной разряд. Искра возникает снова. Темный лидер может образовываться несколько раз, вызывая несколько ударов молнии (рекорд – 42 раза). Каждый удар молнии переносит до 40 Кулонов, но отрицательный заряд не удержи-вается на Земле. Между земной поверхностью и ионосферой существует разность потен-циалов около 400 киловольт, поэтому в атмосфере постоянно идет ток, направленный вверх. Его плотность мала – несколько микроампер на кв. метр (1 мкА = 10 –6 А), но общее значение тока достигает 1800 Ампер. Мощность, развиваемая в такой цепи, превышает 700 Мегаватт. Грозы лишь компенсируют утечку заряда. Ежесекундно на Земле происходит около 300 гроз. Средний разрядный ток в них также равен 1800 Ампер, обеспечивая неизменность заряда Земли. § 9 –4 Теория Максвелла. Рассмотрим проводящий виток, помещенный в изменяющееся магнитное поле. По за- E = - ; Ф = . Если виток не изменяет своей формы, то знак производной можно внести под знак инте-грала. Тогда получим: где наклонные означают частную производную (предполагается, что значения В могут зависить от времени и координат). Согласно своему определению ЭДС характеризует работу, совершаемую стороннми силами по всему замкнутому контуру (витку), т.е. E = , где Е
представляет собой напряженность сторонних сил, создающих индукционный ток. Виток замкнут и однороден, поэтому силовые линии электрического поля тоже должны быть замкнутыми, т.е. индуци-рованное в проводнике электрическое поле является вихревым
. Максвелл предположил, что наличие проводника не является обязательным: силовые линии электрического поля останутся замкнутыми и в свободном пространстве. На основании этого он сделал вывод, что всякое изменяющееся во времени магнитное поле порждает вокруг себя вихревое электрическое поле
. Это положение называют первой гипотезой Максвелла, Закон Фара-дея теперь записывается так: Кроме этого существует второе положеие теории Максвелла, которое вытекает из рассмотрения теоремы о циркуляции магнитного поля. Как было показано, циркуляция магнитного поля имеет следующий вид: ра магнитной индукции остается справедливой и для контура L за счет того, что в простран-стве между пластинами также имеется некий «волшебный» ток I волш, причем полный ток в цепи складывается из тока проводимости I пров и этого «волшебного» тока,т.е. В проводниках I пров = I полн, а в пространстве между пластинами I полн = I волш. Нетрудно видеть, что при этих условиях теорема о циркуляции справедлива везде. Обратимся к рассмотрению «волшебного тока» внутри пластин конденсатора. Мы знаем, что ток I пров =dQ/dt. На конденсаторе Q = Ss (s - плотность поверхностных зарядов, а S – площадь пластин конденсатора). Напряженность электрического поля внутри конден-сатора равна E = s/e 0 или D 0 = s , где D 0 = e 0 E – вектор электрического смещения. С учетом этого запишем В то же время очевидно, что I пров = I волш, поэтому последний ток Максвелл назвал током смещения. Теперь теорема о циркуляции принимает новый вид, где под знаком суммы стоит полный ток I полн: Для проводников произвольного сечения и для проиэвольной формы пластин конденсатора токи выражаются через соответствующее суммирование плотности токов: I пров = ; I смещ = , так что теорема о полном токе приобретает следующий вид: Если проводники отсутствуют, ток проводимости равен нулю, и уравнение (II) имеет вид: Таким образом, второе положение теории Максвелла может быть сформулировано так: Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вокруг себя магнитное вихревре поле. Уравнения (I) и (II) называются уравнениями Максвелла. Вместе с уравнениями Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длин-ного соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях Аналогично для вектора В Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что ветора на соответствующих отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значе-ния циркуляции в уравнения (I) и (III), получим: И , откуда ; , где производная по х имеет смысл частной произ- водной, поэтому правильнее заменить знак на знак частной производной : Диффернецируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные результаты, имеем: Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени: Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из ура- внений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой, по- волны поперечны,
т.к.
вектора Е иВ направлены по осям Y и Z, тогда как волна распро-страняется вдоль оси Х. волны поляризованы
, т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцирован-ному им электрическому. Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого сов-падает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сох-раняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной нап-равлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется плоской, и ее можно записать так: В этом выражении - волновое число, l = сТ, w=2p/T. Формула плоской электромаг-нитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Свето-выми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет содержит не менее семи основных цветов. Для упрошения математических выкладок часто ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.
Рис.33. Структура грозового облака.
что разные части облака несут разный заряд (см. рис.33). Нижний слой тучи, как правило, несет отрицательный заряд, однако в середине слоя существует область положительного заря-да. Эта область – своебразное сердце грозы. Существующее вокруг ее электрическое поле ионизирует окружающий воздух, постоянно порождая положительные и отрицательные за-ряды.Дождевые капли, двигаясь к Земле, поля-ризуются. Земля несет отрицательный заряд, поэтому на нижней части капли возникает по-ложительный заряд. Увеличенное изображение капли приведено в правой части рисунка. При движении капли вниз – ее нижняя часть поло-жительна, - и она притягивает отрицательные
. Рис.36. К вычислению цир-
куляций для векторов Е и В.
они составляют так называемую систему уравнений Мак-
свелла, полностью описывающую свойства электрическо-
го и магнитного полей.
§ 9 –5 Электромагнитные волны.
Из уравнений Максвелла вытекает вывод о существова-нии электромагнитных волн. Для того, чтобы показать это, рассмотрим уравнения (I) и (III) в применении к кон-кретным полям. Пусть имеется некоторая система коор-динат Х,Y,Z, как показано на рис.36, и в начале координат какими-то внешними причинами созданы электрическое и магнитное поля, характеризующиеся векторами Е иВ соот-ветственно. Направления этих векторов указаны на рис.